ProbabilityTheory

概率论相关公式整理如下:

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第二章 基本概念

• 交换律:A + B = B + A,AB=BA
• 结合律:(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C,(AB)C=A(BC)=ABC
• 分配律:(A+B)C=AC+BC,AB+C = (A+C)(B+C)
• 德摩根律: $\overline{A+B}=\bar{A}\bar{B}$,$\overline{AB}=\bar{A}+\bar{B}$
• P(A-B) = P(A)-P(AB)
• P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)
• 乘法概率公式: 若P(B)>0,$P(AB)=P(B)P(A|B)$.若P(A)>0,$P(AB)=P(A)P(B|A)$.
  一般地,$P(A_1A_2…A_{n-1})>0$,则$P(A_1A_2…A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2A_1)…P(A_n|A_1A_2…A_{n-1})$
• 全概率公式: $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$
• 贝叶斯概率公式: $P(B|A) = \frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$

第三章 分布

1.离散型分布

• 1.0-1分布 $X\sim B(1,p)$

  $$P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k}(0<p<1,k=0,1)$$

• 2.二项分布 $X \sim B(n,p)$

  $$P(X=k)=C\_n^kp^kq^{n-k}(k=0,1,2,...,n)(0<p<1,q=1-p)$$

• 3.泊松分布 $X \sim P(\lambda)$

  $$P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}(k=0,1,2,...)$$

2.连续型分布

• 1.均匀分布 $X \sim U[a,b]$

  $$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a} & a\leq x\leq b \\ 0 & others \end{cases}$$

• 2.指数分布 $X \sim E(\lambda)$

  $$f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x > 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}$$

  $\lambda>0$

• 3.正态分布 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$

  $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty < x < +\infty$$

第四章 随机变量的特征

1.期望概念

• 离散型: $E(X)=\sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i$
• 连续型: 设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x),若积分$\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f(x)dx<+\infty$存在,并称积分$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$为X的数学期望,记为E(X),即$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$

2.期望性质

• E(c) = c, 其中c为常数
• E(cX) = cE(X), 其中c为常数
• E(X+Y) = E(X) + E(Y)
• 若X,Y相互独立,E(XY) = E(X)E(Y)

3.方差概念
$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$

4.方差性质

• D(c) = 0, 其中c为常数
• $D(cX) = c^2D(X)$, 其中c为常数
• 若X,Y相互独立, D(X+Y) = D(X) + D(Y)

5.协防差
$Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}$

6.相关系数
$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$

7.协防差和相关系数性质

• Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
• Cov(aX,bY) = abCov(X,Y), a,b为常数
• $Cov(X_1+X_2,Y) = Cov(X_1,Y) + Cov(X_2,Y)$
• D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)
• Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
• $|\rho_{XY}| \leq 1$
• 若X,Y相互独立,则$\rho_{XY}=0$
• $\rho_{XY}=\pm$的充要条件是存在两个常数a,b,且$a\neq0$,使得$P{Y=aX+b}=1$.

第五章 大数定律和中心极限定理

1.契比雪夫不等式: 设随机变量X的数学期望为E(X)=a,方差为D(X),则对于给定的数$\epsilon>0$,有

$$P\{|X-a|\geq \epsilon\}\leq \frac{D(X)}{\epsilon^2}$$

2.大数定律: 设{X_n}为一随机变量序列,a为一个常数,如果对任何给定的正数$\epsilon$,有$\lim_{n \to \infty}P{|X_n-a|\geq \epsilon}=0$,则称随机变量序列{X_n}依概率收敛于a,记为$X\_n \overset{P}{\rightarrow}a(n \to \infty)$.

3.契比雪夫大数定律: 设{X_n}为一随机变量序列,若对于所有的自然数n,数学期望E(X_n)及方差D(X_n)均存在,且存在某常数M>0,使得D(X_n)$\leq M$,则有$\frac{1}{n}\sum\_{i=1}^{n}[X\_i-E(X\_i)]\overset{P}{\rightarrow}0$.

4.贝努里大数定律: 在n次重复独立试验中,设Y_n为事件A发生的次数,每次试验事件A发生的概率为P,则$\frac{Y\_n}{n} \overset{P}{\rightarrow}P(n \to \infty)$.

5.辛钦大数定律: 设{X_n}为独立同分布的随机变量序列,且具有数学期望E(X_i)=$\mu,i=1,2,…$,则$\frac{1}{n}\sum\_{i=1}^{n}X\_i\overset{P}{\rightarrow}\mu(n \to \infty)$.

6.中心极限定理: 设{X_n}为独立同分布的随机变量序列,且E(X_i)=$\mu$,D(X_i)=$\sigma^2\neq0,i=1,2,…$,则当n充分大时,$\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-E(\sum_{i=1}^{n}X_i)}{\sqrt{D(\sum_{k=1}^{n}X_k)}}$近似地服从标准正态分布,记作$\frac{\sum\_{i=1}^{n}X\_i-E(\sum\_{i=1}^{n}X\_i)}{\sqrt{D(\sum\_{k=1}^{n}X\_k)}}=\frac{\sum\_{i=1}^{n}X\_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\sim N(0,1)$.

第六章 数理统计概念

1.统计量

• 样本均值: $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$
• 样本方差: $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2=\frac{1}{n-1}[\sum_{i=1}^{n}X_i^2-n(\bar{X})^2]$
• 样本标准差: $S=\sqrt{S^2}$
• 样本k阶原点矩 $A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^k(k=1,2,..)$
• 样本k阶中心矩 $B_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^k$

2.抽样分布
卡方分布,F分布,正态分布

第七章 参数估计

1.矩估计: 概括来讲就是用样本矩估计总体矩(原点矩).
2.极大似然估计法

• 离散型:概率连乘求极大
• 连续型:概率密度函数连乘求偏导

3.估计量的评价标准:待完善

4.区间估计:待完善

第八章 假设检验

• 1.建立原假设H₀(备选假设H₁)
• 2.根据检验对象,构造适当的统计量g(X₁,X₂,…,X_n)
• 3.在H₀成立的条件下,确定统计量g(X₁,X₂,…,X_n)的分布
• 4.由显著性水平$\alpha$确定临界值,从而得到拒绝域或接受域
• 5.根据样本值计算统计量的观测值,由此作出接受原假设或拒绝原假设的结论